Osittaisintegraatio

Osittaisintegraatio on integraatiomenetelmä, joka perustuu sijoitukseen tulon säännön kaltaisesta tuotteen derivoimisesta. Käytännössä se antaa tavan integroida tuotteita, joiden suorilla integroinneilla on hankalaa tai mahdotonta.

Kaava voidaan esittää sekä epätyhjissä että määritellyissä integraaleissa. Oletetaan, että funktiot u = u(x) ja dv = v'(x) dx ovat yhdistettynä sellaisiin, että du = u'(x) dx ja v = ∫ dv. Tällöin ∫ u dv = u v − ∫ v du. Määritelmä voidaan soveltaa myös raja-arvoilla: ∫_a^b u dv = [u v]_a^b − ∫_a^b v du.

Valintaperiaate: Osittaisintegraatio on tehokkain, kun valittu u tulee vähenemään helposti derivoimalla ja dv on sellainen, jonka integrointi on helpohkoa. Yleisesti käytetty ohjenuora on LIATE-sääntö: valitse u sellaista funktiota, joka kuuluu logaritmisiin, käänteisiin trigonometrisiin, algebrallisiin, trigonometrisiin ja eksponentiaalisiin luokkiin siten, että derivointi pienentää monimutkaisuutta.

Esimerkki: Laske ∫ x e^x dx. Aseta u = x ja dv = e^x dx, jolloin du = dx ja v = e^x. Sijoita: ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = e^x (x − 1) + C.

Osittaisintegraatio on erityisen hyödyllinen silloin, kun integraali sisältää tuotteen polynomista funktiota ja jotain muuta helposti integroitavissa olevaa funktiota (eksponentiaalinen, logaritminen tai trigonometrinen). Sitä voidaan toistaa tai yhdistää muihin menetelmiin, jolloin mahdollistaa monien yleisten integraalien ratkaisemisen.