Osafraktsioonide

Osafraktsioonid ehk osafraktsioonide dekompositsioon on ratsionaalsete funktsioonide esitus lihtsamatena murdudena. Kui R(x) = P(x)/Q(x) on ratsionaalne funktsioon ja Q(x) jagub reaala või muu valla teguriteks, saab R(x) sageli kirjutada kujul summa mõnest lihtsast murrust, mille denominandid on Q(x) tegurid. See meetod on eriti kasulik integreerimisel ja tagaajades lahendusi teistes algebraalastes ülesannetes.

Dekompositsiooni vormid sõltuvad tegurite tüübist. Kui Q jagub eraldi lineaarseteks teguriteks (kõik on kordumatud), on võimalik kirjutada R(x) kujul R(x) = A1/(x−r1) + A2/(x−r2) + …. Kui Q sisaldab korduvaid tegureid või on kasutusel irreduktiivsed kvadratuurid, lisatakse vastavad termid: R(x) = Σ_i Σ_{k=1}^{mi} Ai,k/(x−ri)^k + Σ_j (Bj x + Cj)/(qj(x)), kus qj(x) on irreduktiivsed kvadratuurid.

Koefitsientide leidmiseks korrutatakse kogu identiteet Q(x) ja võetakse saadud polünoomi astmed võrdsed. Seejärel lahendatakse lineaarvõrrandisüsteem koefitsientide kohta. Kui on lihtsad lineaar- tegurid, saab tihti koefitsiente leida ka katmise (kaug- või kattuvam) meetodil.

Näide. Murru (7x+3)/(x^2−3x+2) osafraktsioonideks: x^2−3x+2 = (x−1)(x−2). Lahendades A/(x−1) + B/(x−2) võrrandit 7x+3 = A(x−2) + B(x−1) saab A = −10 ja B = 17. Seega (7x+3)/(x^2−3x+2) = −10/(x−1) + 17/(x−2).

Rakendused hõlmavad peamiselt integreerimist, differential- ja süsteemide lahendamist ning signaalitöötlust, kus ratsionaalarvulisi funktsioone tuleb lihtsustada. Osafraktsioonide teooria on standardne tööriist algebra ja analüüsi valdkonnas.