Ortogonaalsust

Ortogonaalsus on lineaaralgebras mõiste, mis kirjeldab kahe vektori või kahe funktsiooni omavahelist suhet. Kaks vektorit u ja v on ortogonaalsed, kui nende sisemine korrutis ⟨u, v⟩ on 0. See definitsioon kehtib nii reaalses kui ka kompleksruumis; Euclidlikus ruumis tähistab see sageli risti olemust.

Alamruumide kontekstis on W⊥ kõik vektorid, mis on W-ga ortogonaalsed. Iga vektor v ruumis V saab kirjutada kujul v = w + w⊥, kus w ∈ W ja w⊥ ∈ W⊥; see kirjeldab ortogonaalse projektsiooni. Kui kogum vektoreid on omavahel ortonormaalsed, siis ⟨vi, vj⟩ = δij ning need moodustavad ortonormaalse alus. Gram–Schmidt protsess teisendab mis tahes aluse ortonormaalseks.

Maatriksite kontekstis on ortogonaalsed maatriksid Q maatriksid, mille puhul kehtib Q^T Q = I. Selliste maatriksite pöördmaatriks on Q^−1 = Q^T; nad säilitavad pikkused ja sisemise korrutise. Ortogonaalsed alused ja maatriksid lihtsustavad arvutusi ning ruumiliste ning signaalitöötluse probleemide lahendamist.

Rakendustes kasutatakse ortogonaalsust laialdaselt: funktsioonide ruumis defineeritakse ⟨f, g⟩ = ∫ f(x) g(x) w(x) dx; Fourier’i baasidel on omavaheline ortogonaalsus; ning andmeteaduses ja numerilistes meetodites nagu PCA, QR- ja SVD-lahendused ning ruumiline projektsioon. Ortogonaalsus võimaldab komponentide eristamist ja arvutuslikult lihtsamate lahenduste leidmist.