Operaatioanalyysissä

Operaatioanalyysi (operator theory) on funktionaalisen analyysin haara, joka tutkii lineaarisia operaattoreita erityisesti Hilbert- ja Banach-tiloilla. Keskeisiä kohteita ovat rajoitetut (bounded) ja epärajoittuneet (unbounded) lineaariset operaattorit sekä niiden algebra- ja topologiset ominaisuudet. Tärkeitä käsitteitä ovat adjointti, itseisarvoiset (self-adjoint), unitaariset (unitary) ja normaalit operaattorit sekä spektri ja resolventti. Spektriteoria ja funktionaalinen kalkulus tarjoavat keinoja käsitellä operaattoreiden ominaisuuksia kuin funktioidenkin.

Keskeisiä teemoja ovat spektriteoria, funktionaalinen kalkulus sekä erilaisten luokkien, kuten kompaktien ja Fredholm-operaattoreiden, tutkimus. Alan rakennuksia ovat C*- ja von Neumann -algebrateoriat, joissa operaatioita tarkastellaan algebrallisina kokonaisuuksina. Spektri voidaan jakaa diskreettiin, jatkuvaan ja essential-spektriin, ja funktionaalinen kalkulus mahdollistaa funktioiden soveltamisen operaattoreihin.

Historian osalta ala kehittyi 1900-luvulla Banachin, von Neumannin ja Halmosin töiden kautta; myöhemmin Gelfandin ja muiden panokset laajensivat teoriaa. Operaationalyysi ulottuu puhtaaseen matematiikkaan ja sovelluksiin, kuten kvanttimekaniikkaan sekä osittais- ja tavallisansiDifferentiaaliyhtälöihin, signaalin käsittelyyn ja kuvankäsittelyyn.

Opetuksessa ja tutkimuksessa operaationalyysi yhdistää abstraktin teorian ja käytännön menetelmät. Tärkeitä tutkimusaiheita ovat spektrin geometrian, perturbaatio-teorian ja luokkien luokittelun kaltaiset teemat. Menetelmät kattavat sekä teoreettiset tulkinnat että numeeriset lähestymistavat, joiden avulla operaattoreita mallinnetaan diskreetiksi tai jatkuvaksi järjestelmäksi.