Normaalialiryhmät

Normaalialiryhmät ovat aliryhmiä, jotka säilyvät konjugoinnin alla. Olkoon G ryhmä ja N sen aliryhmä. N on normaali aliryhmä G:ssä, jos gNg^{-1} = N kaikilla g ∈ G. Ekvivalentisti N on normaali, jos vasemmat ja oikeat kosetit ovat samoja, eli gN = Ng kaikilla g ∈ G. Näin ollen left- ja right-kosetit ovat yhtä suuret.

Normaalialiryhmät mahdollistavat kertaryhmien rakentamisen. N on normaali, jos ja vain jos on kerroinmappausten kernel tai jos f: G → H on ryhmähomomorfismi, ker f on normaali aliryhmä. Ensimmäinen isomorfiateoreema sanoo, että G/ker f ≅ im f, eli G:stä muodostetaan kertaryhmä kerroinfunktion kautta.

Esimerkkejä. Abelineissa ryhmissä jokainen aliryhmä on normaali; esimerkiksi Z on abeli ryhmä ja kaikkien sen aliryhmien normaalisuus on varmaa. S_3:n normaali aliryhmä on A_3 (kierrepituinen kolmen järjestyksen aliryhmä). Z:ssä kaikilla aliryhmillä on normaalius, ja myös monien muiden ryhmien normaalialiryhmät ovat tärkeitä.

Normaalialiryhmien joukko N(G) muodostaa lattian: se on sulkeutuva leikkaukselle ja yhdisteelle sekä normalisoitu säilyttäen. Erityisesti jos N1 ja N2 ovat normaaleja, niin N1N2 on normaali aliryhmä G:ssä ja N1 ∩ N2 on normaali. N:sta muodostettu kertaryhmä G/N sisältää oikeat representaatit kosetteina, ja sen operaatio on (aN)(bN) = abN.

Normaalialiryhmät ovat keskeisiä ryhmäteorian rakennuspalikoita, kun tutkitaan ryhmien kertomista ja yhtymäisyyksiä sekä ryhmien kuvasuhteiden ominaisuuksia.