Neliöresiduoiden

Neliöresiduot ovat lukuja, jotka ovat kongruentteja neliön kanssa modulo jokin kokonaisluku. Toisin sanoen, luku 'a' on neliöresidua modulo 'n', jos on olemassa sellainen kokonaisluku 'x', että x^2 ≡ a (mod n). Jos tällaista kokonaislukua 'x' ei ole olemassa, 'a' on neliöepäresidua modulo 'n'.

Tarkastellaan esimerkiksi aritmetiikkaa modulo 5. Luvut 0, 1, 2, 3 ja 4 ovat mahdolliset residuaalijäämät. Laskemalla näiden neliöt modulo 5 saamme:

0^2 ≡ 0 (mod 5)

1^2 ≡ 1 (mod 5)

2^2 ≡ 4 (mod 5)

3^2 ≡ 9 ≡ 4 (mod 5)

4^2 ≡ 16 ≡ 1 (mod 5)

Tästä seuraa, että modulo 5 neliöresiduot ovat 0, 1 ja 4. Luvut 2 ja 3 ovat neliöepäresidua modulo 5. Huomataan, että jokainen modulo 'n' neliöresidua saadaan laskemalla (n - x)^2 ≡ (-x)^2 ≡ x^2 (mod n).

Neliöresiduaiden käsite on keskeinen lukuteoriassa, erityisesti diofanttisissa yhtälöissä ja alkulukujen ominaisuuksien tutkimisessa. Esimerkiksi Legendre-symboli (a/p) määritellään pisteelle, kun p on pariton alkuluku, ja sen arvo on 1, jos 'a' on neliöresidua modulo 'p' eikä jaollinen p:llä, -1, jos 'a' on neliöepäresidua modulo 'p', ja 0, jos 'a' on jaollinen p:llä.