Neliöintimenetelmiä

Neliöintimenetelmiä ovat joukko numeerisia integraatiomenetelmiä, joita käytetään likimääräisten arvojen laskemiseen määrätyille integraaleille. Perusidea on korvata integrointialueen alla oleva funktio yksinkertaisemmilla funktioilla, kuten polynomeilla, joiden integraalit tunnetaan tai ovat helposti laskettavissa. Nämä yksinkertaisemmat funktiot määritellään usein tiettyjen pisteiden, neliöintipisteiden, arvoista.

Yksi yksinkertaisimmista neliöintimenetelmistä on suorakulmiomenetelmä, jossa funktiota approksimoidaan suorakulmioilla. Trapetsisääntö puolestaan approksimoi funktiota trapetsilla. Nämä ovat niin sanottuja "avoin" tai "suljettu" menetelmiä riippuen siitä, käytetäänkö funktion arvoja integrointivälin päätepisteissä.

Monimutkaisempia ja tarkempia menetelmiä ovat esimerkiksi Gaussin neliöinti, joka valitsee neliöintipisteet ja painokertoimet optimaalisesti niin, että tietynasteisten polynomien integrointi saadaan tarkasti. Newton-Cotesin kaavat ovat yleinen luokka menetelmiä, joissa neliöintipisteet valitaan tasavälisesti. Näiden kaavojen tarkkuus kasvaa, kun käytetään korkeampia asteita polynomiapproksimaatiota varten, mutta samalla myös laskennallinen vaiva kasvaa.

Neliöintimenetelmien valintaan vaikuttavat usein integroitavan funktion ominaisuudet, vaadittu tarkkuus ja käytettävissä oleva laskentateho. Niitä käytetään laajalti esimerkiksi fysiikassa, insinööritieteissä ja muilla tieteenaloilla, joissa analyyttinen integrointi ei ole mahdollista tai käytännöllistä.