NavierStokesyhtälöihin

Navier–Stokes-yhtälöt ovat nestemäisten ja kaasumaisten aineiden liikkeen kuvaamisen keskeisiä säilyvyyslauseita. Ne perustuvat massan ja liikemäärän säilymiseen sekä Newtonin liikeyhtälöihin. Yhtälöt määrittelevät fluidin nopeus- ja painekentät sekä ottavat huomioon viskositeetin ja ulkoiset voimat, kuten gravitaation.

Yleinen muoto, nesteille ja kaasuille, voidaan esittää kahdella pääasiallisella tasolla. Incompressible-Newtonian fluidille: ρ(Du/Dt) = -∇p + μ∇^2 u + f ja ∇·u = 0. Tässä Du/Dt = ∂u/∂t + (u·∇)u on konvektiivinen derivointi. ρ on tiheys, p paine, μ viskositeetti, u nopeus, f keveys. Compressible-tilanteessa massa säilyy: ∂(ρu)/∂t + ∇·(ρu⊗u) = -∇p + ∇·τ + ρg, τ = μ(∇u + ∇u^T) - (2/3) μ (∇·u) I.

Käytännössä Navier–Stokes-yhtälöitä sovelletaan muun muassa ilmailussa, meteorologiassa ja meriteollisuudessa sekä biolääketieteessä veren virtauksia mallittaessa. Ratkaisut ovat useimmiten numeerisia, ja CFD (computational fluid dynamics) -menetelmät ovat yleisiä. Rajatapoina ovat kiinteiden pintojen no-slip-ehto, liikkuvat rajapinnat sekä vapaat pinnat.

Matemaattisesti kolmessa ulottuvuudessa yleisten alkuehdotusten kanssa ratkaisut eivät ole vielä täysin ymmärrettyjä: olemassaolo ja sileyys (ill. smoothness) ovat ratkaisematta oleva Millennium Prize -ongelma. Tensorimuodot ja heikennetyt ratkaisut sekä turbulenssin tilat ovat tieteellisiä tutkimusaiheita.