Mõõtmisteooria

Mõõtmisteooria on matemaatiline raamistik, mis käsitleb tõenäosusruumi ja mõõtuvate funktsioonide kontseptsioone. See on kaasaegse reaalanalüüsi ja tõenäosusteooria alustalaks, pakkudes rangeid vahendeid integratsiooniks ja juhuslike sündmuste modelleerimiseks.

Peamine mõiste mõõtmisteoorias on "mõõt". Mõõt on funktsioon, mis omistab mitte-negatiivseid reaalarve teatud osamassivõimaluste kogumile. Need osamassivõimalused moodustavad sigma-algebra, mis on hulkade kogum, millele saab mõõta. Mõõt peab rahuldama teatud aksioome, sealhulgas tühja hulga mõõt on null ja loenduvate lahutuvate hulkade ühendi mõõt on nende mõõtude summa.

Olulised mõisted hõlmavad ka "mõõtuvat funktsiooni", mis on funktsioon, mille pre-image iga mõõtuva hulga puhul on ise mõõtuv hulk. Mõõtuvate funktsioonide integratsioon on mõõtmisteooria keskne tegevus, mis laieneb standardsele Riemann-integraalile keerukamate funktsioonide ja ruumide korral.

Mõõtmisteooriat kasutatakse laialdaselt erinevates valdkondades, sealhulgas füüsikas (eriti kvantmehaanikas), statistikas, majanduses ja masinõppes. See pakub vajalikku matemaatilist alust tõenäosusruumide formaliseerimiseks, kus sündmuste tõenäosusi saab täpselt määratleda ja analüüsida.