Modallogiikka

Modallogiikka on logiikan ala, joka tutkii modaalisuutta, eli välttämättömyyttä ja mahdollisuutta. Perusoperaattoreita ovat □ (välttämättömyys) ja ◇ (mahdollisuus). Lause φ on välttämättä totta, jos φ pätee kaikissa mahdollisissa maailmoissa; se on totta jossakin mahdollisessa maailmassa, jos φ pätee jossain niistä. Modallogiikassa tarkastellaan näiden operaatioiden periaatteita sekä niiden vaikutusta muihin lauseisiin ja todistuksiin.

Kripken semantiikassa modaalinen totuus määritellään maailmasta riippuvaisina: malli koostuu joukosta maailmoja W ja pääsyn relaatiosta R. Lause φ on totta maailmassa w, jos on todistuva tulkinta V, jossa φ on totta. □φ on totta w, jos φ on totta kaikissa v, joille wRv. ◇φ on totta w, jos φ on totta jossain tällaisessa v. Kehys (frame) on (W, R); malli on (W, R, V).

Alkeellinen järjestelmä K sisältää axiomaatikan □(p → q) → (□p → □q). Lisäagetit kuvaavat ominaisuuksia kehykseen: T (□p → p) vaatii jokaisen maailmasta toisen maailmaan pääsyn olevan refleksiivinen; S4 lisää transitiivisuuden; S5 vaatii pääsyn relaatio osoittamaan epäytymisen eli olevan epäluonteeltaan epätäydellinen. Completeness-teoreemat yhdistävät nämä aksonnit niiden sovellettaviin kehysryhmiin. Päätettävyys on pääasiassa PSPACE-keskeinen propositional modal logiikalla kuten K, S4 ja S5.

Historian taustassa modallogiikka syntyi 1900-luvun alkupuolella C. I. Lewisin ja myöhemmin Kripken possible-worlds -sematiikan vaikutuksesta. Nykyään modallogiikka on laaja perhe, johon kuuluu epistemic-, deontic-, aikaan liittyviä sekä yhdistettyjä logiikkoja. Sillä on sovelluksia filosofiassa, kielitieteessä, tekoälyssä ja ohjelmistojen verifikoinnissa.