Mittelineaarisia

Mittelineaarisia on suomalainen adjektiivi, jota ei yleisesti käytetä matematiikan vakiintuneessa terminologiassa. Termi saattaa esiintyä harvoin tai olla virheellinen muoto, ja useimmiten se tulkitaan sekoitettuna sanaan semilineaarinen (semilineaarinen). Tästä syystä artikkeli käsittelee lähinnä yleisempää ja vakiintuneempaa käsitettä, semilineaarisuutta, sekä sen mahdollisia tulkintoja.

Semilineaarinen kartta on seuraavanlainen rakenne: olk V ja W ovat vektoriavaruuksia kentän F yli, ja σ on kentän automorfismi. Funktio f: V → W on semilineaarinen, jos f(a x) = σ(a) f(x) kaikille a ∈ F ja x ∈ V. Kun σ on identiteetti, f on lineaarinen. Esimerkki: kompleksilukujen tapauksessa f(z) = z̄ on semilineaarinen, kun σ on kompleksikonjugaatio. Semilineaarisuus on siten jossain määrin laajennus lineaarisuudesta, jossa skaalaukset muuttuvat automorfian mukaan.

Käyttökonteksteja semilineaariselle käsitteelle löytyy algebrasta, moduuliteoriasta ja reprezentaatio­teoriasta, sekä silloin, kun tarkastellaan rakenteita, jotka ovat lineaarisia tietyn automorfian kanssa vuorovaikutuksessa. Semilineaarisia karttoja käytetään myös Galois-teoriassa ja muissa tilanteissa, joissa perinteinen lineaarisuus ei säily automorfian vaihtuessa.

Huomio: termi "mittelineaarinen" ei ole vakiintunut suomenkielinen käsite. Jos kohtaat sen, on suositeltavaa siirtyä käyttämään tarkkaa termiä semilineaarinen tai selittää konteksti, jossa adjektiivia käytetään.