Minimietäisyys

Minimietäisyys tarkoittaa pienimmän mahdollisen etäisyyden määritelmää kahden ei-tyhjän joukon välillä tilassa, jossa etäisyys on määritelty. Tavallinen tapa ilmaista se on d(A,B) = inf{ d(a,b) : a ∈ A, b ∈ B }, jossa d on käytetty metriikka. Jos A ja B leikkaavat, minimietäisyys on 0.

Kun A ja B ovat ei-tyhjiä kompakteja joukkoja Euclidean-tilassa, minimi on saavutettu: löytyy pari a* ∈ A ja b* ∈ B siten, että d(a*,b*) = d(A,B). Yleisesti infimum ei välttämättä ole saavutettu, eli tarkkaa paria ei aina ole.

Esimerkkejä: pisteen etäisyys joukosta A on d(p,A) = inf{ d(p,a) : a ∈ A }. Pisteen etäisyys suoraan L tasossa on perinteinen piste-line etäisyys; kahden pisteen välinen etäisyys on Pythagoraan. Kahden suoran välinen etäisyys riippuu niiden kulmasta ja sijainnista; jos suorat leikkaavat, minimietäisyys on 0, muuten se voi olla positiivinen.

Sovelluksia: minimietäisyys on keskeinen käsite geometriassa, suunnittelussa, robotiikassa, tietokonegrafiikassa, klusteroinnissa sekä lähinnä naapuri- ja törmäystarkastuksissa. Se toimii perustana muun muassa etäisyyden mittaamiseen ja erilaisten tilojen välisen vuorovaikutuksen arviointiin.