Minimiarvot

Minimiarvo tarkoittaa pienintä arvoa, jota jokin joukko, mitta tai funktio voi saada. Käsite esiintyy sekä muodollisessa matematiikassa että käytännön yhteyksissä. Joukosta S ⊆ R puhuttaessa minimiarvo on pienin S:n alkio, jos sellainen löytyy. Toisin sanoen on olemassa m ∈ S siten, että m ≤ s kaikilla s ∈ S. Jos pienintä alkiota ei ole, minimiarvoa ei ole; tällöin kyse on alemmasta rajasta, jota kohti arvot voivat lähestyä muttei välttämättä saavuta.

Funktiolle f: D → R minimiarvo on pienin mahdollinen arvo f(x) kun x vaihtelee D:ssä. Jos tämä arvo saavutetaan jossain pisteessä x0, sanotaan että f saavuttaa minimin pisteessä x0. Jos minimiä ei saavuteta, mutta arvoa voidaan lähestyä, kyseessä on raja-arvo ilman minimiä.

Erotellaan usein lokaali minimi ja absoluuttinen (globaali) minimi. Lokaali minimi on pienin arvo kyseisen kohdan ympäristössä, kun taas globaalisti pienin arvo on pienin arvo koko määrittelyalueella.

Käyttökohteita ovat mittaukset, optimointi ja taloudelliset sekä tilastolliset analyysit. Esimerkkejä: joukosta {1, 3, 7, 2} minimiarvo on 1. Funktiolle f(x) = x^2, x ∈ R, minimiarvo on 0, saavutettu kohdassa x = 0.