Metszéspontja

A metszéspontja a két vagy több geometriai objektum közös pontja, ahol az adott alakzatok találkoznak vagy keresztezik egymást. Leggyakoribb példák: síkgeometria esetén két egyenes vagy két görbe közös pontja, a térgeometria pedig a síkok vagy felületek közös pontját jelöli. A fogalom kiterjeszthető több vonalra, görbére vagy felületre, és használható akkor is, amikor különböző típusú objektumok találkoznak.

Két egyenes síkban történő leírása esetén az E1: a1 x + b1 y = c1 és E2: a2 x + b2 y = c2 egyenletek közös megoldása adja a metszéspontot. Ha a determináns D = a1 b2 − a2 b1 nem nulla, akkor pontosan egy megoldás létezik, és ez a metszéspont. Ha D = 0 és az egyenesek azonosak, akkor végtelen metszéspont van; ha D = 0 és az egyenesek párhuzamosak, nincs metszéspont.

Számítási módszerek közé tartozik a helyettesítés, az elimináció vagy a determináns-alapú megoldás (Cramér-szabály). Az x és y értékei a megfelelő determinánsok hányadosai, ami racionális vagy valós értéket adhat.

Példa: az y = 2x + 1 és az y = −x + 3 egyenesek metszéspontja. Egyesítve: 2x + 1 = −x + 3 → 3x = 2 → x = 2/3, és y = 2(2/3) + 1 = 7/3. Tehát a metszéspont (2/3, 7/3).

Általánosabban a metszéspont számos objektum esetében a közös megoldás megtalálásával adódik: három vagy több vonal esetén csak akkor van egyetlen pont, ha minden pár közös metszéspontja ugyanaz a pont. A görbék vagy síkok esetében ezt algebrai vagy numerikus módszerekkel oldják meg, és a koncepció kiterjeszthető háromdimenziós térre is.