Masteryhtälöä

Masteryhtälö on stokastisen järjestelmän tilan todennäköisyyksien ajallinen kehitys kuvaava joukko eräyhtälöitä. Se perustuu Markovin prosessiin, jossa siirtymät nykytilasta toiseen riippuvat vain nykytilasta eikä menneisyydestä. Masteryhtälöt määrittelevät, miten tilojen todennäköisyydet muuttuvat ajan kuluessa.

Discreetin tilan tapauksessa, kun järjestelmä voi olla rajattu joukko tiloja, tilan i todennäköisyyden P_i(t) kehitystä kuvaa:

dP_i(t)/dt = sum_j [W_{ij} P_j(t) - W_{ji} P_i(t)],

jossa W_{ij} on siirtymänopeus tilasta j tilaan i. Tämän kokonaisuuden muodot muodostavat Markovin prosessin generaattorin Q:n, ja ne varmistavat, että tilojen todennäköisyydet säilyvät ja summa on yksi.

Eräs tärkeä erikoistapa on kemiallinen masteryhtälö: kun muuttujina ovat molekyylimäärät n ja reaktioilla on propensiteetit a_r(n) sekä stoikiometriset siirtymät ν_r, tilan n todennäköisyyden kehitys on

dP(n,t)/dt = sum_r [a_r(n − ν_r) P(n − ν_r,t) − a_r(n) P(n,t)].

Masteryhtälöjä on harvoin mahdollista ratkaista analyyttisesti; tavallisia menetelmiä ovat generaattorien tai momenttien sulkeminen sekä numeeriset simuloinnit, kuten Gillespie’n stokastinen simulointi. Diffuusio- taiFokker–Planck-yhtälöön siirtyminen tapahtuu, kun tilan muutokset tarkastellaan jatkuvana rajatapauksena.

Sovelluskohteita ovat fysiikka, kemia, biologia ja populaatiodemografia sekä jonoteoriat ja operatiiviset mallit, joissa satunnaisuus vaikuttaa tiloihin tai käyttäytymiseen. Masteryhtälö on yhteydessä Kolmogorovin eteen- ja taaksepäin yhtälöihin.