Maksimointia

Maksimointia tarkoittaa prosessia tai tuloksen määritystä, jossa jokin suure pyritään saamaan mahdollisimman suureksi. Sitä esiintyy laajasti matematiikassa, taloustieteissä, insinööritieteissä ja tekoälyssä. Maksimoitavaa suuretta kutsutaan usein objektiiviseksi funktioksi, ja sille asetettuja arvoja tai muuttujia rajoittavat säännöt tai käytettävissä oleva resurssien kokonaisuus. Yleinen muoto on f(x), jonka arvoa pyritään kasvattamaan.

Matematiikassa maksimoidaan f(x) tietyllä alueella D, joka voi sisältää rajoitteita. Tyypillinen asettelu on maksimoida f(x) siten, että g_i(x) ≤ 0 ja h_j(x) = 0 toteutuvat. Esimerkkinä lineaarinen ohjelmointi: maksimoidaan c^T x seuraamalla Ax ≤ b ja x ≥ 0. Yleensä kyse on siitä, että löydetään optimaalisesti se x, joka antaa suurimman mahdollisen arvon.

Ratkaisutapoja on sekä analyyttisia että numeerisia. Analyyttiset menetelmät kuten Lagrangen menetelmä ja Karush–Kuhn–Tucker (KKT) ehdot ovat hyödyllisiä, kun ratkaisut ovat suljetun muodonlaisia tai rajoitteet ovat lineaarisia. Numeeriset menetelmät kuten gradienttisymbolin nousun, Newtonin menetelmän ja sisäisten pisteiden menetelmät soveltuvat suurille ja monimutkaisille ongelmille sekä epälineaarisissa että lineaarisissa tehtävissä.

Sovellukset kattavat talous- ja kustannusoptimoinnin, logistiikan, tuotannon suunnittelun sekä tekoälyn ja robotiikan ohjausalgoritmit. Esimerkki: yritys pyrkii voittojen maksimoimiseen optimoimalla tuotantovolyymiä ja hinnoittelua lineaarisella ohjelmoinnilla. Maksimointia liittyy usein minimointiin vastakohtana: tavoitteena on löytää paras mahdollinen arvo suhteessa kustannuksiin, riskeihin tai muihin tavoitteisiin.