Maksimifunktiota

Maksimifunktiota, tai maksimi−funktiota, käytetään kuvaamaan funktiota, joka palauttaa arvojoukosta suurimman arvon. Yleisesti puhutaan kahdesta tavasta: (1) maksimiarvo joukosta x1, ..., xn; (2) funktio f: R^n → R, määriteltynä f(x) = max_i x_i. Jos indeksointijoukko I on äärellinen tai rajoitettu, maksimi on määritelty; jos I on ääretön, käytetään usein supremaa: f(x) = sup_i x_i, jolloin maksimi ei välttämättä ole olemassa.

Ominaisuudet: Maksimifunktio on konveksi, koska se on affiinien funktioiden maksimi. Se on 1-lipschitz (jatkuva) ja erityisesti f(x) = max{x1, ..., xn} on jatkuva funktio. Johdannaisista näkökulmasta f ei ole yleensä differentiable, mutta sen subgradientti on conv{e_i : x_i on maksimi}; jos suurin arvo saavutetaan yksiselitteisesti indeksissä i*, gradientti on yksikkövektori e_i*.

Sovellukset: Maksimifunktiota käytetään laajasti optimoimisessa, konveksioptimoinnissa, sekä koneoppimisessa esimerkiksi max-pooling-kerroksissa. Se kuvaa kappaleen tai tilan suurinta arvoa monissa tilastollisissa ja signaalinkäsittelyyn liittyvissä malleissa.

Esimerkki: f(x) = max{3, 7, 5} = 7. Toisessa muodossa, x = (x1, x2, x3) ja f(x) = max{x1, x2, x3} antaa suurimman komponentin.

Rajoitteet: Epäilemättömien tai äärettömien indeksien tapauksessa maksimi ei aina ole olemassa; tällöin käytetään supremaa. Käytännössä monissa järjestelmissä maksimi määritellään yhtenäisesti suurimman komponentin löytämiseksi.