Mátrixok

Mátrixok egy téglalap alakú elemek halmazát jelentik, amely sorokból és oszlopokból áll. Egy m×n-es mátrix A elemei a_ij jelölik, ahol i az 1-től m-ig terjedő sorindex, j pedig az 1-től n-ig terjedő oszlopindex. Az elemeket gyakran valós számokból vagy komplex számokból álló számhalmazból vették; a mátrixokat a lineáris algebra alapvető eszközeként használjuk, mert lineáris leképezéseket és lineáris egyenletrendszereket egyszerűsítik reprezentálhatóvá.

A transzponált A^T a mátrix sorait és oszlopait felcseréli. Ha A ∈ R^{m×n} és B ∈ R^{n×p}, akkor az összeszorzás AB ∈ R^{m×p} értelmezett; a szorzás nem általában kommutatív. Az összeadás és a skaláris szorzás minden azonos méretű mátrixra értelmezett, így például A + B és kA léteznek, ha A és B ugyanolyan méretűek.

Négyzetszámú mátrixokra (A ∈ R^{n×n}) gyakran vizsgálunk determinánst det(A). Det(A) ≠ 0 esetén létezik inverz A^{-1}, amelyre AA^{-1} = A^{-1}A = I_n teljesül. Az identitásmátrix I_n diagonális, ahol minden diagonális elem 1. Szimmetrikus mátrixok (A^T = A), skew-szimmetrikusok (A^T = -A), felső és alsó háromszögű mátrixok, valamint ortogonális mátrixok (A^T A = I) szintén fontos példák.

Alkalmazások közé tartozik a lineáris rendszerek megoldása Gauss-eliminációval vagy LU-dekompozícióval, lineáris transzformációk leírása, számítástechnika és grafika, statisztika és gépi tanulás, például adathalmazok tömörítése és főkomponens-analízis.