Lämpödiffusioyhtälö

Lämpödiffuusioyhtälö on osittainen differentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämpötilan jakautumisen kehittymistä ajan funktiona materiaalin sisällä. Yhtälö perustuu Fourierin lakiin lämmönjohtavuudesta, joka toteaa, että lämpövirta on verrannollinen lämpötilagradienttiin. Lämpödiffuusioyhtälöä voidaan pitää lämmönjohtavuuden ja massan diffuusion analogisena.

Yhtälön yleinen muoto yhdessä ulottuvuudessa on ∂u/∂t = α (∂²u/∂x²), missä u on lämpötila, t on aika, x on sijainti ja α on lämpödiffusiivisuus. Lämpödiffusiivisuus on materiaalin ominaisuus, joka kertoo, kuinka nopeasti lämpö leviää materiaalin läpi. Se riippuu materiaalin lämmönjohtavuudesta, tiheydestä ja ominaislämpökapasiteetista.

Yhtälön ratkaiseminen vaatii yleensä alkuolosuhteet (lämpötilan jakautuminen ajan hetkellä t=0) ja reunaehdot (lämpötila tai lämpövirta materiaalin reunojen yli). Näiden tietojen perusteella voidaan ennustaa lämpötilan muuttumista ajan kuluessa.

Lämpödiffuusioyhtälöllä on laaja sovellusalue fysiikassa, insinööritieteissä ja muilla aloilla. Sitä käytetään muun muassa lämpösiirtymisen mallintamisessa, materiaalien lämpötilan analysoinnissa, geologisissa prosesseissa ja jopa biologiassa esimerkiksi solujen lämpötilan leviämisen tutkimisessa. Yhtälön ratkaisut ovat usein monimutkaisia ja vaativat numeerisia menetelmiä.