Logistikkfunksjoner

Logistikkfunksjoner, eller logistiske funksjoner, er en familie av funksjoner som beskriver en S-formet, eller sigmoidal, kurve. Den mest kjente formen er f(x) = L / (1 + e^{-k(x - x0)}), der L er den øvre asymptoten, k er vekstraten og x0 er det punktet der funksjonen har halvparten av sin endelige verdi. Når L = 1 blir det ofte kalt standard logistisk funksjon.

Funksjonen har flere karakteristiske egenskaper. Den er monotont økende når k > 0 og monoton nedad når k < 0, og den har asyntoter ved 0 og L. Infleksjonspunktet ligger ved x = x0, der f(x0) = L/2. Derivertens uttrykk er f'(x) = (kL e^{-k(x - x0)}) / (1 + e^{-k(x - x0)})^2, eller f'(x) = k f(x) (1 - f(x)/L). Den inverse funksjonen kan skrives som f^{-1}(y) = x0 + (1/k) ln(y/(L - y)) for 0 < y < L, noe som knytter logistikk til logitt-transformasjonen.

Logistikkfunksjoner brukes i flere sammenhenger. I sannsynlighets- og statistikkutvikling er logistisk regresjon en vanlig anvendelse, der sannsynligheten for en binær utfall modelleres som en logistisk funksjon av prediktorer. Innen sannsynlighetsfordelinger beskrives logistikkurve som CDFen til den logistiske fordelingen. I biologi og økologi beskriver logistisk vekst en popsulasjon som vokser raskt ved lave størrelser og deretter flater ut når den nærmer seg bærekapasiteten. Andre anvendelser inkluderer aktiveringsfunksjonen i nevrale nettverk og ulike generaliserte logistikkvarianter som Richards' kurve.