Linvertibilità

L'invertibilità, o linvertibilità, è una proprietà fondamentale dell'algebra lineare che riguarda la possibilità di recuperare l'input a partire dall'output di una trasformazione o di una matrice. In termini concreti, una matrice quadrata A ∈ F^{n×n} è invertibile se esiste una matrice A^{-1} ∈ F^{n×n} tale che A A^{-1} = A^{-1} A = I_n, dove I_n è la matrice identità. In questo caso A è detta non singolare o invertibile.

Una condizione essenziale per le matrici quadrate è det(A) ≠ 0. Se det(A) = 0, la matrice è singolare e non ha inverso. Equivalenti a questa condizione sono il pieno rango n, la linearità indipendenza delle colonne e la bijettività della trasformazione lineare associata. Per trasformazioni lineari T: V → V in uno spazio vettoriale di dimensione finite, l’invertibilità significa che T è bijettiva e quindi ha un inverso T^{-1} tale che T^{-1} T = T T^{-1} = id_V.

Per matrici non quadrate, esistono concetti analoghi: una matrice A ∈ F^{m×n} può avere un inverso sinistro o destro. Se A ha rango pieno delle colonne (rank n, con n ≤ m), esiste una matrice B ∈ F^{n×m} tale che BA = I_n (inverso sinistro). Se A ha rango pieno delle righe (rank m, con m ≤ n), esiste una matrice C ∈ F^{n×m} tale che AC = I_m (inverso destro). In caso di matrice quadrata, l’esistenza di un inverso è equivalente al fatto di avere det ≠ 0.

L’inverso di una matrice è unico. Proprietà utili includono (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} quando esistono A^{-1} e B^{-1}, e det(A^{-1}) = 1/det(A). Si determina l’inverso tramite eliminazione di Gauss, matrice aggiunta o decomposizioni come LU; in pratica numericamente si usano metodi stabili.