Lineáritás

Lineáritás vagy lineáris összefüggés a matematika egyik alapelve, amely megőrzi a hozzáadást és a skalárszorzást. A lineáris jelenségek olyan leképzésekre vagy függvényekre vonatkoznak, amelyekben a bemeneti elemek lineáris kombinációival kapott kimenet is lineáris kombináció marad.

Formális definíció: Legyen L egy leképezés V és W vektorterek között. L lineáris, ha minden x, y ∈ V és minden c a mező F vonatkozásában teljesül L(x + y) = L(x) + L(y) és L(c x) = c L(x). Ezt additivitásnak és homogenitásnak hívják. Ennek következtében L(0) = 0 is igaz.

Példák: az identitástranszformáció L(v) = v lineáris, továbbá a skalárszorozás és a forgatás vagy tükrözés a síkon is lineáris transzformáció. Minden lineáris transzformáció megvalósítható egy véges dimenziós mátrix A-kkal úgy, hogy L(x) = A x.

Nemlineáris példák: f(x) = x^2 vagy f(x) = mx + b nemlineáris függvény, az utóbbi pedig affinnak tekinthető, amely megőrzi a párhuzamokat, de nem teljesíti a lineáris definíciót. A lineáris elemek között a superpozíció elve érvényes: L(αu + βv) = α L(u) + β L(v).

Kapcsolódó fogalmak és alkalmazások: lineáris egyenletrendszerek megoldása, lineáris algebra, lineáris differenciálegyenletek. A lineáris modellek kiindulópontot jelentenek sok tudományban, például számítógépes grafika, fizika és közgazdaságtan területén.