Lineaarvõrrandid

Lineaarvõrrandid on algebrailised võrrandid, milles tundmatud esinevad ainult esimeses astmes ja koosnevad tundmatu(t)e lineaarsetest liikmetest ning võimalikust vabaliikmest. Ühe tundmatuga lineaarvõrrandi üldkuju on ax + b = 0, kus a ja b on konstandid. Kui a ≠ 0, on lahendiks x = −b/a; kui a = 0 ja b = 0, on lõpmatu arv lahendeid; kui a = 0 ja b ≠ 0, lahendit ei ole.

Mitmetunnuselised lineaarvõrrandid võtavad kujul a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b. Selliste võrrandite hulk moodustab lineaarse võrrandisüsteemi, mille lahenduste kogum võib olla tühi, sisaldada ühekordset lahendit või lõpmatult palju lahendeid. Lahendamise standardmeetodid hõlmavad asendamist, liitmist (eliminerimist), Gaussi meetodit ning maatrikspõhiseid tehnikaid nagu Crameri reegel ja ranguse/astme analüüs.

Homogeensed lineaarvõrrandid (kõik vabaliikmed on nullid) on alati üheselt seotud nullvektoriga; mittetriviaalsete lahendite olemasolu sõltub koefitsientmaatriksi determinantist või reast. Geomeetriliselt tähistavad ühe võrrandi lineaarfunktsioonid tasandil sirgeid või ruumides tasandeid ja hüperpindu.

Lineaarvõrrandid on fundamentaalsed matemaatikas ning laialt kasutusel füüsikas, inseneriteadustes, majanduses ja statistikas, kuna need modelleerivad paljusid reaalse maailma süsteeme ning võimaldavad efektiivset numbrilist analüüsi.