Lineaarikuvauksia

Lineaarikuvauksia ovat funktioita lineaarialgebrassa, jotka säilyttävät vektoritilan operaatiot. Nämä operaatiot ovat vektorien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen. Olkoon V ja W kaksi vektoriavaruutta samalla skalaarikunnalla. Lineaarikuvaus f: V -> W on kuvaus, joka toteuttaa seuraavat kaksi ehtoa kaikille vektoreille u, v kuuluvat V:hen ja kaikille skalaareille c:

1. f(u + v) = f(u) + f(v) (additiivisuus)

2. f(c * u) = c * f(u) (homogeenisuus)

Lineaarikuvaukset ovat keskeisiä lineaarialgebran tutkimuksessa, koska ne mahdollistavat vektoriavaruuksien välisen rakenteen ymmärtämisen. Ne ovat vastuussa matriisien ja lineaaristen yhtälöryhmien käsittelystä. Jokainen lineaarikuvaus voidaan esittää matriisina, kun vektoriavaruuksille on valittu kannat. Tällöin kuvauksen soveltaminen vektoriin vastaa matriisikertolaskua vektorin kanssa.

Lineaarikuvauksen ydin (kernel) on niiden vektoreiden joukko lähtöavaruudessa, jotka kuvautuvat nollavektoriksi maalivaruudessa. Ydin on aina lähtöavaruuden aliavaruus. Lineaarikuvauksen kuva (image) on niiden vektoreiden joukko maalivaruudessa, jotka ovat jonkin lähtöavaruuden vektorin kuvia. Kuva on aina maalivaruuden aliavaruus. Lineaarikuvauksille pätee ns. "dimensiolause", joka yhdistää lähtöavaruuden dimension, ytimen dimension ja kuvan dimension: dim(V) = dim(ker(f)) + dim(im(f)).