Lineaarikombinaatit

Lineaarikombinaatit ovat perusilmiö lineaarialgebrassa. Olkoot V vektoritila, joka on jonkin kentän F päällä varustettu vektori. Annetaan vektorit v1, ..., vn ∈ V. Lineaarikombinaatio on muoto α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn, missä jokaisen αi ∈ F. Kaikkien näiden yhdistelmien joukko muodostaa span{v1,...,vn}.

Esimerkki: R^2:ssa v1 = (1,0) ja v2 = (0,1). Mikä tahansa vektori (a,b) voidaan kirjoittaa muodossa a v1 + b v2, jolloin koordinaatit a ja b ovat kertoimia lineaarikombinaatiossa.

Ominaisuudet: Jos v1,...,vn ovat lineaarisesti riippumattomia, jokaisella v ∈ span{v1,...,vn} on yksikäsitteinen edustus muotoa α1 v1 + ... + αn vn. Jos ne ovat lineaarisesti riippuvia, edustus ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Tämä liittyy läheisesti kanto- ja span-käsitteisiin: kannan muodostava joukko on lineaarisesti riippumaton ja sen span on kyseinen alavektoritila. Mikäli v1,...,vn muodostavat kannan jollekin alavektoritilalle, jokainen v tilassa voidaan esittää yksikäsitteisesti lineaarikombinaationa.

Käyttö: Lineaarikombinaatit ovat keskeisiä koordinatisoinnissa, vektoreiden ilmaisemisessa tiettyjen vektorijoukkojen perusteella sekä lineaarijärjestelmien ratkaisemisessa. Ne havainnollistavat, miten vektorit rakentuvat toistensa summista ja skalaari-kertoluvuista.