Lineaaralgebra

Lineaaralgebra on matematiikan osa-alue, joka tutkii vektoreita, vektoriavaruuksia, lineaarisia kuvauksia ja matriiseja. Peruskäsitteitä ovat vektorin summa ja skalaaritulo, lineaarinen riippumattomuus, kannat ja ulottuvuus (dimensio). Matriisit esittävät lineaarisia kuvauksia koordinaatistossa, ja niiden laskutoimituksiin kuuluvat yhteen- ja kertolasku, transpoosi sekä käänteismatriisi, joka on olemassa vain säännöllisille (invertible) matriiseille.

Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen käytetään muun muassa Gaussin eliminaatiota; matriisien hajotelmista tärkeitä ovat LU-, QR- ja singulaarivekkoarvohajotelma (SVD). Determinantti liittyy muun muassa käänteisyyteen ja tilanmuutokseen, kun taas ominaisarvot ja ominaisvektorit kuvaavat lineaarisen kuvauksen pääsuuntia ja mittakaavoja. Ortogonaalisuus ja sisätulorakenne ovat keskeisiä erityisesti sovelluksissa, joissa mitataan etäisyyksiä ja projisointeja.

Lineaarialgebra toimii perustana monille matematiikan ja luonnontieteiden alueille, kuten differentiaaliyhtälöille, optimoinnille, tietojenkäsittelylle ja koneoppimiselle. Sovelluksia löytyy fysiikasta, insinööritieteistä, taloustieteestä ja tietojenkäsittelystä. Historiaan kuuluu useiden tutkijoiden, kuten Gaussin ja Cayleyn, panos, ja teoria laajenee abstrahdoituun muotoon funktionaalisena analyysina, joka käsittelee usein äärettömäisiä vektoriavaruuksia. Lineaarialgebra tarjoaa tehokkaan kielellisen ja laskennallisen kehyksen monimutkaisten järjestelmien analyysiin.