Likhetsrelationen

Likhetsrelationen, eller en likhetsrelation, är en binär relation på en mängd där varje element står i förhållande till sig själv och där relationen uppfyller tre grundläggande egenskaper: reflexivitet, symmetri och transitivitet. Reflexivitet innebär att varje element är relaterat till sig själv. Symmetri innebär att om ett element är relaterat till ett annat så är det andra relaterat tillbaka till det första. Transitivitet innebär att om ett element är relaterat till ett andra och det andra är relaterat till ett tredje så är det första relaterat till det tredje.

En konsekvens av en likhetsrelation är att varje element tillhör en eller flera väldefinierade likhetsklasser, där alla medlemmar i en klass är relaterade till varandra, och olika klasser är skilda utan någon relation mellan deras medlemmar. Mängden av alla likhetsklasser kallas ofta kvotmängden eller partitionen av mängden. Denna uppdelning gör att varje element tillhör exakt en klass och varje klass består av element som alla är relaterade till varandra.

Exempel på likhetsrelationer inkluderar kongruens modulo n bland heltal: två heltal a och b är relaterade om deras skillnad är ett multipel av n. En annan trivial likhetsrelation är lika med-relationen där varje par av element är relaterat om och endast om de är likvärdiga enligt lika med.

Vissa relationer uppfyller inte reflexivitet, symmetri eller transitivitet och är därför inte likhetsrelationer. Till exempel är ”är en förälder till” inte symmetrisk, och därmed inte en likhetsrelation. Likhetsrelationer används inom algebra, kombinationsteori och topologi för att klassificera objekt, definiera quotient-strukturer och studera partitioner av mängder.