Lfunktioiden

L-funktioilla tarkoitetaan laajaa luokkaa kompleksifunktioita, jotka koodaavat aritmetiikan ja geometrian rakenteita. Yleisesti ne voidaan esittää Dirichlet-sarjana L(s) = sum_{n=1}^∞ a_n n^{-s}, jonka koeffisientit liittyvät tutkittavaan ilmiöön, ja ne voidaan kirjoittaa Eulerin tuotteen muotoon L(s) = prod_p (1 - α_p p^{-s})^{-1}. Konvergenssi tapahtuu aluksi Re(s) > σ0, ja monille L-funktioille on mahdollista antaa analyyttinen jatke koko kompleksitasolle sekä tyypillisesti täyttää funktioyhtälö.

Esimerkkejä L-funktioista ovat Riemannin zeta-funktio ζ(s) = sum n^{-s} = prod_p (1 - p^{-s})^{-1}, joka konvergoi Re(s) > 1 ja jonka zeta-funktiolle on olemassa meromorfinen jatko sekä funktioyhtälö. Dirichletin L-funktiot L(s, χ) käyttävät Dirichlet-merkkejä χ ja ovat keskeisiä aritmeettisissa tuloksissa primesin jakaantumisesta aritmeettisesti jännitteisiin progressioihin. Niiden muoto on L(s, χ) = sum χ(n) n^{-s} = prod_p (1 - χ(p) p^{-s})^{-1}.

Laajoja L-funktiovaihtoehtoja muodostavat automorfiset L-funktiot L(s, π) sekä Hasse–Weil L-funktiot, kuten L(E, s) ellipttisille käyrille. Näillä on paikalliset tekijät ja gamma-tekijät, ja ne odotetaan täyttävän analyyttisen jatkettavuuden sekä funktioyhtälön. L-funktioiden tutkimus liittyy lukuisin aritmetiikan kysymyksiin, kuten alkulukujen jakautumiseen, pisteiden määrään algebraalisissa käyrissä sekä Langlandsin ohjelman kautta aritmetiikan ja automorfisen esitystutkimuksen välisiin syy-seuraussuhteisiin.