Lebesguemått

Lebesguemått är det standardmått som används för att tilldela en volym till uppsättningar i det n‑dimensionella Euclidska rummet R^n. Det byggs upp genom en yttre mått m*: för varje E ⊆ R^n definieras m*(E) som infimum över summor av volymerna hos räckor (rektanglar) som täcker E. En mängd E är Lebesguemått-mätbar om Carathéodory-villkoret uppfylls: för alla A ⊆ R^n gäller m*(A) = m*(A ∩ E) + m*(A \ E). Mängden m(E) av Lebesguemått-mätbara uppsättningar kallas Lebesguemåttet.

Lebesguemått är translateringsinvariant: m(E + x) = m(E) för alla x i R^n. Det är σ‑additivt, monotont och fullständigt; varje delmängd av en mängd med mått noll är själv mätbar och har mått noll. För intervallet [a,b] i R är m([a,b]) lika med längden b−a, och i allmänhet motsvarar måttet volymen i högre dimensioner. R^n har oändligt Lebesguemått, men måttet är σ‑finit eftersom R^n kan delas upp i rutor med ändlig volym.

Lebesguemått är den naturliga utvidgningen av Borel‑måttet: varje Borel‑mängd är Lebesguemätbar och fullständigheten innebär att alla delmängder av nollmängder också är mätbara. Lebesguemätets användning gör Lebesgue‑integrationen möjlig och underlättar viktiga resultat som dominerande konvergenssatsen, monont konvergenssatsen och Fubinis sats. Användningen är central i analys, sannolikhet och harmonisk analys; namnet kommer från Henri Lebesgue. Exempel på välkända tillämpningar inkluderar att Cantor-satsen har mått noll, medan det finns icke‑mätbara mängder kräver användning av valetsaxiomet.