Latticepisteet

Latticepisteet ovat pisteitä, joiden kaikki koordinaatit ovat kokonaislukuja. Ne muodostavat R^n:n standardilattian, Z^n, jonka pisteet ovat kaikista (m1, m2, ..., mn) ∈ Z^n. Esimerkiksi tasossa latticepisteet ovat pisteitä (m, n), missä m ja n ovat kokonaislukuja, ja ne muodostavat säännöllisen ruudukon.

Latticepolygoneiksi kutsutaan polygooneja, joiden kärjet ovat latticepisteitä. Yleisimpiä ovat konveksit latticepolygont, kuten kolmiot ja neliöt, joiden reunapisteet voivat myös olla latticepisteitä.

Pickin teoreema on 2-ulotteinen tulos latticepolygoneista: alueen pinta-ala A saadaan laskemalla A = I + B/2 − 1, missä I on polygonin sisäisten latticepisteiden määrä ja B on reunan latticepisteiden määrä. Teoreema yhdistää geometrian ja diskreetin pistejoukon.

Ehrhart-teoria ja lattice-polytopit yleistävät tämän idean korkeampiin ulottuvuuksiin. Olkoon P lattice-polytoppi R^d:ssa. L_P(t) määrittää latticepisteiden määrän tP:ssa, kun t on kokonaisluku. L_P(t) on polynomi, jonka aste on d, ja sen johtava termi on tilavuus vol_d(P).

Latticepisteiden laskeminen ja tutkiminen kuuluu geometriaan numeroiden. Esimerkkinä Gaussin ympyrän ongelma, jossa etsitään количество latticepisteitä ympyrän sisällä tai reunalla. Latticat voidaan yleistää: lattices in R^n ovat latticein kaltaisia alijoukkia, jotka muodostuvat lineaaristen kokonaislukujen yhdistelmistä, ja niiden tiheys on kuvattavissa determinantilla.

Sovelluksia esiintyy muun muassa kide- ja materiaalitieteissä, tietokonegrafiikassa ja optimoinnissa, sekä kryptografiassa ja virheenkorjauksessa.