Lanczosalgoritmer

Lanczosalgoritmer, opkaldt efter den ungarsk-amerikanske fysiker Cornelius Lanczos, er en familie af algoritmer inden for numerisk lineær algebra. Disse algoritmer bruges primært til at finde approksimationer til de største eller mindste egenværdier og tilhørende egenvektorer af store, sparsomme, symmetriske matricer. Kernen i Lanczosalgoritmerne er konstruktionen af en Krylov-underrum, der iterativt udvides med nye vektorer.

Algoritmen starter med en vilkårlig startvektor. I hver iteration genereres en ny vektor, der er ortogonal på alle tidligere genererede vektorer i Krylov-underrummet. Dette resulterer i en tridiagonaliseret matrix, hvis egenværdier er approksimationer til egenværdierne af den oprindelige matrix. Fordelen ved denne metode er, at egenværdierne af den mindre, tridiagonaliserde matrix kan findes meget mere effektivt end dem af den oprindelige store matrix.

Lanczosalgoritmen er især effektiv, når kun et par af de største eller mindste egenværdier er af interesse. Dens anvendelse strækker sig til mange områder, herunder kvantemekanik, ingeniørvidenskab og optimeringsproblemer, hvor man ofte står over for store symmetriske matricer, hvis fulde egenværdidekomposition er beregningsmæssigt uoverkommelig. En væsentlig overvejelse ved brugen af Lanczosalgoritmer er håndteringen af numerisk stabilitet, især for meget store matricer, hvor ortogonaliseringstrinnet kan blive følsomt over for fejl.