egenværdierne

Egenværdierne er talværdierne λ, for hvilke der findes en ikke-nul vektor v kaldet en egenvektor, sådan at Av = λv for en kvadratisk matrix A. Dette viser, hvordan en lineær transformation repræsenteret ved A påvirker retninger i rumet: langs egenvektorerne skaleres videre med faktoren λ.

Beregningsgrundlag og definitioner. Egenværdierne findes ved at løse ligningen det(A − λI) = 0, hvor I er identitetsmatricen og det betegner den såkaldte karakteristiske polynom. Rødderne af denne polynom giver eigenværdierne. For hver eigenværdi λ findes en eller flere egenvektorer, løsningen af (A − λI)v = 0. Egenvektorernes rum kaldes en egenværdiæse. Egenværdier kan være reelle eller komplekse tal; hvis A er en real matrix, kommer komplekse værdier i konjugerede par.

Egenskaber og betydning. Produktet af eigenværdierne er lig determinanten af A, og summen af eigenværdierne er lig med spor (summen af diagonalene) af A. Hvis A kan diagonaliseres, findes en invertibel P sådan, at A = PDP^−1, hvor D indeholder eigenværdierne på diagonalen. Ikke alle matricer er diagionaliserbare, og i sådanne tilfælde circulerer egenvektorer ikke nødvendigvis tilstrækkeligt til en basis.

Eksempler og numeriske metoder. For en 2×2-matrix som A = [[2, 1], [0, 3]] er eigenværdierne λ = 2 og λ = 3. Numeriske metoder som QR-algoritmen eller? Power iteration bruges til store eller specielt sparsomme matricer. Egenværdier spiller en central rolle i stabilitetsanalyse, vibrationsanalyse og mange områder af numerisk lineær algebra.