Laiendfunktsioonid

Laiendfunktsioonid on funktsioonid, mille abil saab olemasoleva funktsiooni ulatada selle algsest domaiinist suuremale alale või tervele ruumile. Põhiline mõiste: kui A on X-i alamalge või alamruum ja f: A → Y, siis laiendfunktsioon F: X → Y on funktsioon, mille piiriks on f (F|A = f). Laiendit soovitakse sageli säilitada mõne omaduse või piirangu, näiteks pidevust või Lipschitz-kontrolli.

Topoloogias ja analüüsis on tähtsad eri tüüpi laiendused. Tietze laienemisteoreem ütleb, et kui X on normaalne ruum, A on suletud ja f: A → R on pidev, siis leidub pidev F: X → R selline, et F|A = f ning F jääb ühtlaselt piiratud sama võtmekorralduse väärtustes. See teoreem võimaldab pidevate funktsioonide laiendamist ilma suurendamata nende väärtuste ulatust või korraldust.

Lipschitsi laienemine puudutab muuhulgas laiendamist Lipschitz-funktsioonide puhul. McShane’i teoreem garanteerib, et iga L-Lipschitsi f: A → R saab laiendada samas mõõtmes X → R, säilitades Lipschitsi konstant. Kirszbrauni teoreem laieneb selle idea ka kõrgemates ruumides, näiteks R^n, ja säilitab sama Lipschitsi konstant.

Rakendused hõlmavad piiride ja piirardete käsitlemist analüüsis ning ruumi funktsioonide uurimist topoloogias. Laiendfunktsioonid võimaldavad põhjustada jätkuvaid ja kontrollitavaid laiendusi, mis on kasulikud nii teoreetilises kui ka rakenduslikus kontekstis.