Lagrangemódszer

A Lagrange-módszer, vagy Lagrange-multiplikátor módszere, egy olyan technika az optimalizálásban, amelyet akkor használnak, ha a keresett függvényt f(x) egy vagy több egyenlő feltétel, g_i(x)=0, mellett kell maximalizálni vagy minimalizálni. A módszert Joseph-Louis Lagrange fejlesztette ki a 18. században; széles körben alkalmazzák matematikában, fizikában, közgazdaságtanban és mérnöki területeken.

A lényeg egy Lagrange-függvény felépítése: L(x, λ) = f(x) - ∑_{i=1}^m λ_i g_i(x), ahol x ∈ R^n a döntési változók, g_i(x)=0 a feltételek és λ_i a Lagrange-multiplikátorok. A megoldáshoz meg kell találni olyan x és λ értékeket, amelyek egyidejűleg kielégítik a parciális deriváltak nullátételét és a feltételeket: ∇_x L(x, λ) = 0 és g_i(x)=0 minden i. Ezzel egy olyan egyenletrendszert kapunk, amely meghatározza a kritikus pontokat.

Értelmezés: a feltételek szerint a célfüggvény gradiense a korlátozások gradienseinek lineáris kombinációjaként írható fel, a kombinációk koefficiensei épp a multiplicátorok λ_i. A megoldásokból kiválasztják a releváns extremumokat, amelyeket szükség esetén másodrendű vagy KKT-féle feltételekkel vizsgálnak.

Kiterjesztések és kapcsolódó fogalmak: egyenlőtlenségek esetén a KKT-feltételek általánítják a módszert; a fizikában a Lagrange-módszer a Lagrangian mechanikában és az Euler–Lagrange egyenletekben játszik központi szerepet. Megfontolandó korlátozások állapotfüggő vagy nem differenciálható esetekben is, ahol a módszer korlátokat és kondíciókat igényel.