Kvaterniókat

Kvaterniókat (angolul quaternions) egy négydimenziós hiperkomplex számok, melyeket William Rowan Hamilton ír le 1843-ban. Egy kvaternió általában a következő alakban írható fel: a + bi + cj + dk, ahol a, b, c, és d valós számok, és i, j, k pedig imaginárius egységek.

Az imaginárius egységek speciális tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek meghatározzák a kvaterniók szorzási szabályait. Ezek a szabályok a következők: i² = j² = k² = ijk = -1. Ezen kívül fennállnak az alábbi összefüggések: ij = k, ji = -k; jk = i, kj = -i; ki = j, ik = -j. Ez azt jelenti, hogy a kvaterniók szorzása nem kommutatív, vagyis a szorzás sorrendje számít.

A kvaterniókat széles körben használják a háromdimenziós forgatások leírására a matematikában, a fizikában és a számítógépes grafikában. A vektorok forgatására különösen alkalmasak, mivel elkerülik a gimbal lock jelenségét, ami a Euler-szögek használatakor merülhet fel. Egy kvaternió egység normájú (azaz a² + b² + c² + d² = 1) reprezentál egy forgatást a térben.

A kvaterniók algebrai struktúrát alkotnak, megengedve összeadást, kivonást, szorzást és osztást. Az osztás műveletét a konjugált kvaternió segítségével végezhetjük el. A kvaterniók fontos szerepet játszanak a lineáris algebrában és a differenciálgeometriában is.