Krydskorrelation

Krydskorrelation, også kaldet cross-correlation, er et mål for likheden mellem to signaler eller tidsserier som funktion af en tidsforskydning. Den beskriver hvordan et signal X_t relaterer til et andet signal Y_t forskudt i tid, og anvendes til at identificere lignende mønstre og forsinkninger mellem de to signaler.

Matematisk kan krydskorrelationen defineres som C_XY(τ) = E[(X_t - μ_X)(Y_{t+τ} - μ_Y)], hvor μ_X og μ_Y er middelværdierne og E er forventningsværdien. Den normaliserede udgave, kaldet krydskorrelationskoefficienten, er ρ_XY(τ) = C_XY(τ) / (σ_X σ_Y), hvor σ_X og σ_Y er standardafvigelserne. For diskrete tidssignaler X_t og Y_t kan man bruge r_XY[k] = (1/N) ∑_t (X_t - X̄)(Y_{t+k} - Ȳ), og bemærke at ρ_XY(τ) ∈ [-1, 1]. Værdiernes struktur giver indblik i led-lag mellem signalerne; for eksempel peger et peak ved τ = τ0 på en forsinkelse, hvor ligheden er størst.

Relation til konvolution: krydskorrelationen mellem x og y er tæt forbundet med konvolution, idet den kan beskrives som sigtvendt krydskonvolution af x og en spejlet version af y. Beregning kan udføres effektivt i frekvensdomænet ved hjælp af Fourier-transformer (FFT).

Anvendelser inkluderer signalbehandling (tidsskema og synkronisering), billedbehandling (2D krydskorrelation for skabelonmatchning), neurovidenskab og finans (lead-lag-relationer). Egenskaberne giver indsigt i forhold og alignering mellem signaler, under hensyntagen til ikkestationaritet og kantfejl ved begrænset data.