Kovarians

Kovaryans, iki rassal değişkenin birlikte nasıl değiştiğini ölçen bir istatistik ölçüsüdür. Popülasyon kovaryansı X ve Y için Cov(X,Y) = E[(X − μ_X)(Y − μ_Y)] şeklinde tanımlanır; burada μ_X ve μ_Y sırasıyla X ve Y’nin beklenen değerleridir. Pozitif kovaryans, değişkenlerin birlikte yükselme eğiliminde olduğunu; negatif kovaryans ise biri artarken diğerinin azalma eğiliminde olduğunu gösterir. İki değişkenin bağımsız olması durumunda kovaryans sıfırdır. Ancak sıfır kovaryans, genel olarak bağımlılığı göstermez; özellikle bağımlılık her zaman sıfır kovaryans anlamına gelmez.

Örnek ve popülasyon kovaryansı arasındaki fark, hesaplama biçimlerinde görülür. Discrete (ayrık) veri için Cov(X,Y) = Σ p(x,y) (x − μ_X)(y − μ_Y). Sürekli durumda ise entegral kullanılır. Örnek kovaryans s_XY ise s_XY = (1/(n−1)) Σ (x_i − x̄)(y_i − ȳ) olarak hesaplanır. Çok değişkenli durumda kovaryans matrisi Σ, Σ_ij = Cov(X_i,X_j) biçiminde yazılır; bu matris simetriktir ve diagonalında varyanslar bulunur.

Korelasyonla ilişkisi: korelasyon katsayısı ρ_XY = Cov(X,Y) / (σ_X σ_Y) olarak tanımlanır. Kovaryans ölçeklendirilebilir ve birimlere sahiptir; korelasyon ise bağımsız olarak normalize edilmiş bir ölçüdür.

Uygulamalara örnek olarak finans portföy varyansı Var(P) = w^T Σ w verilebilir. Kovaryans, istatistiksel modellerde, regresyon analizlerinde ve çok değişkenli analizlerde temel bir bileşen olarak kullanılır.