Korskorrelation

Korskorrelation är ett mått på likhet mellan två tidsserier X och Y som funktion av förskjutningen mellan dem. Den används inom statistik och signalbehandling för att studera hur två signaler eller tidsserier är relaterade när den ena förskjuts i tiden i förhållande till den andra.

Definitioner:

- Den okorrigerade korskorrelationen för en stationär process definieras som R_xy(k) = E[X_t Y_{t+k}], där t är tidsindex och k är lag. Den normaliserade korskorrelationen, eller korskorrelationsfunktionen, ges av ρ_xy(k) = R_xy(k) / sqrt(R_xx(0) R_yy(0)).

- För diskreta data används ofta uppskattningar av korskorrelationen: r̂_xy(k) = sum_t (x_t − x̄)(y_{t+k} − ȳ) / sqrt(sum_t (x_t − x̄)^2 sum_t (y_t − ȳ)^2).

Tolkning och egenskaper:

- Ett stort värde av ρ_xy(k) (positivt eller negativt) vid ett visst k tyder på att X och Y är lika med förskjutning k, med tecken som anger riktningen av sambandet.

- Ett peak vid k > 0 tyder på att X leder Y med k enheter, medan k < 0 indikerar att Y leder X.

- Korskorrelationen används också för att hitta fördröjningar mellan signaler och för mönstermatchning i signal- och bildbehandling.

Samband med andra operationer:

- Korskorrelation kan uttryckas som konvolution mellan X och en omvänd version av Y: (x ⋆ y)[k] = sum_t x_t y_{t+k} = (x * reverse(y))[k].

- Viktiga varningar: icke-stationära trender eller säsongsvariationer kan skapa falska korskorrelationer; lämplig detrending eller prestandaöverväganden är ofta nödvändiga.

Användningsområden inkluderar signalbehandling, tidsserieanalys, neurovetenskap och geovetenskap, där man vill upptäcka ledande/lag-samband och tidsfördröjningar mellan signaler.