Kontinuitetsligningerne

Kontinuitetsligningerne er en gruppe ligninger, der beskriver lokal bevarelse af en fysisk størrelse. Den generelle form er ∂ρ/∂t + ∇·J = 0, hvor ρ er tæthed af den bevarede størrelse og J er fluxen. Ligningen opstår fra en lokal konserveringslov og gælder i mange områder af fysik og teknik.

I væskedynamik beskriver kontinuitetsligningen massebevarelse. Her er ρ masstæthed og J = ρ v, hvor v er hastigheden. Den konkrete form er ∂ρ/∂t + ∇·(ρ v) = 0. For inkompressible væsker er ρ konstant og divergensen af v er nul: ∇·v = 0.

I elektrodynamik og plasmafysik udtrykker man bevarelsen af elektrisk ladning: ∂ρ/∂t + ∇·J = 0, hvor J er strømtætheden. I kvantemekanikken gælder en lignende form for sandsynlighedstæthed ρ = |ψ|^2, med kontinuitetsligningen ∂|ψ|^2/∂t + ∇·J = 0, hvor J er sandsynlighedstrømmen.

I relativistisk teori udtrykkes bevarelse gennem fire-kurrenten J^μ, med ∂μ J^μ = 0. I diskrete systemer ses ligningerne i masterligninger eller som kontinuitetsligningen for sandsynlighedsfordelinger i Markov-kæder.

Kontinuitetsligningerne er fundamentale, fordi de forbinder lokalt flux med global bevarelse og ofte bruges sammen med dynamiske ligninger som Navier-Stokes eller Maxwell-ligninger.