Kontinuitetsligningene

Kontinuitetsligningene er en familie av matematiske uttrykk som beskriver lokale bevaringslover i fysikken. De sier at en viss størrelse, representert ved en tetthet ρ, ikke blir skapt eller ødelagt i et vektorrør, men overføres gjennom rørsystemet som fluxen J. Den generelle differentialformen er ∂ρ/∂t + ∇·J = 0. Den tilsvarende integrale formen er d/dt ∫_V ρ dV + ∮_S J·dS = 0, der V er et kontrollvolum og S dets grens.

I væskedynamikk er kontinuitetsligningen lik bevaringen av masse: ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0, der v er væskens velstrømning. For en inkompressibel væske er ρ konstant, og ∇·v = 0, noe som betyr at volumstrømmen inn i et punkt må ut Dørl. I kompressible væsker kan tettheten variere.

I kvantemekanikk er kontinuitetsligningen også sentral: ρ = ψ*ψ er sannsynlighetstettheten og J = (ħ/m) Im(ψ*∇ψ) er sannsynlighetsstrømmen. Da oppfylles ∂ρ/∂t + ∇·J = 0, hvilket uttrykker bevaring av sannsynlighet i tidsutviklingen av tilstander i ikke-relativistisk Schrödingerpseudomekanikk.

I elektromagnetismen følger ladningstetthet ρ og strøm J kontinuitetsligningen ∂ρ/∂t + ∇·J = 0 som et resultat av bevaring av elektrisk ladning og av Maxwellligningene. Den er forenlig med Gauss’ lov og andre feltlover og gir en lokalt konsistent beskrivelse av ladningsstrøm.

I relativistisk form kan kontinuitetsligningen skrives med firestrømmen J^μ = (cρ, J) og ∂_μ J^μ = 0, som viser bevaringen i firedimensional spacetime. Kontinuitetsligningene utgjør en sentral del av bevaringsprinsipper i fysikk og brukes bredt i teori og simulering.