Kontinuaatiyhtälöllä

Kontinuaatiyhtälö, joka tunnetaan myös jatkuvuusyhtälönä, on keskeinen matemaattinen ja fysikaalinen käsite, joka kuvaa jonkin suojeltavan suureen, kuten massan, energian tai varauksen, säilymistä. Yhtälö ilmaisee, että jos suojeltavan suureen määrä tilavuudessa vähenee, sen täytyy virrata pois kyseisestä tilavuudesta. Vastaavasti, jos suureen määrä tilavuudessa kasvaa, sen täytyy virrata sisään.

Matemaattisesti kontinuaatiyhtälö voidaan esittää differentiaalimuodossa. Yksinkertaisimmassa muodossaan, jossa tarkastellaan vain yhden komponentin virtausta, se voidaan kirjoittaa $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0$, missä $\rho$ on suojeltavan suureen tiheys ja $\mathbf{J}$ on sen virrantiheysvektori. Termi $\frac{\partial \rho}{\partial t}$ kuvaa tiheyden muutosta ajan suhteen, ja $\nabla \cdot \mathbf{J}$ edustaa virrantiheyden divergenssiä, eli netto virtausta ulos tilavuudesta. Yhtälö siis sanoo, että tiheyden väheneminen tilavuudessa on yhtä suuri kuin positiivinen netto virtaus ulos tilavuudesta.

Kontinuaatiyhtälöllä on sovelluksia monilla fysiikan ja insinööritieteiden aloilla. Se on olennainen fluidimekaniikassa kuvaamaan nesteiden ja kaasujen liikettä, sähködynamiikassa sähkövarauksen säilymistä, hiukkasfysiikassa ja kvanttimekaniikassa aaltofunktion todennäköisyystiheyden kehitystä sekä termodynamiikassa energian säilymistä. Yhtälön ymmärtäminen on välttämätöntä monimutkaisten fysikaalisten järjestelmien mallintamisessa ja analysoinnissa.