Kompleksdomænet

Kompleksdomænet er et grundlæggende begreb i kompleks analyse og betegner en ikke-tom, åben og sammenhængende delmængde af det komplekse plan. Ofte skrives D ⊂ C og beskriver området hvor en kompleksfunktion er defineret. Et domæne kan være forskelligartet i størrelse og form og spiller en central rolle for egenskaberne af funktioner defineret på det.

En funktion f: D → C kaldes holomorf på D, hvis den er kompleksdifferentiabel i hvert punkt i D. Dette er equivalens med Cauchy-Riemann-betingelserne i hvert punkt og med eksistensen af en lokal konvergent potensudvikling omkring hvert a ∈ D. Dermed er holomorfe funktioner normalt analytic: omkring hvert punkt kan f udvides til en konvergent potensserie.

Vigtige egenskaber ved holomorfe funktioner inkluderer Open Mapping Theorem, som siger at ikke-konstante holomorfe funktioner er åbne kort; Maximum Modulus-princippet, der begrænser adfærd af modulus; og identitetssætningen, der sikrer entydig fortsættelse af funktioner, hvis de er ens på et sæt med en akkumulationspunkt. Hvis D er mere specifikt simpelt forbundet, kan man anvende Riemann-mapping-teorien, som siger at ethvert ikke-tomt, simpelt forbundet domæne i C er konformt ækvivalent med enhedsskiven.

Eksempler på komplekse domæner inkluderer hele planeten C, enhedsskiven og et annulus {z ∈ C : r < |z| < R}. Domæner anvendes bredt i konturintegral, analytisk fortsættelse og konform geometri, og danner grundlaget for mange teoremer og teknikker i kompleks analyse.