Kernefunktioner

Kernefunktioner (kernel functions) er funktioner, der måler lighed mellem to inputs og tilordner dem et tal. De gør det muligt at beregne indre produkter i et højdimensionelt feature-rum uden eksplicit at konstruere det rum, en egenskab kendt som kernel-trick. En kernefunktion k opfylder ofte k(x, y) = <phi(x), phi(y)>, hvor phi er en ikke nødvendigt kendt mapping til feature-rummet. Hvis k er symmetrisk og positiv semidefinit, findes der ifølge Mercers betingelse et such phi.

Eksempler på almindelige kernefunktioner:

- Lineær kerne: k(x, y) = x^T y

- Polynomiel kerne: k(x, y) = (gamma x^T y + coef0)^d

- Gaussian/RBF-kerne: k(x, y) = exp(-gamma ||x - y||^2)

- Laplace-kerne: k(x, y) = exp(-gamma ||x - y||_1)

Anvendelser og formål:

Kernefunktioner anvendes i mange maskinlæringsmetoder, herunder support vector machines, kernel ridge regression, kernel PCA og Gaussian process-regression. De udvider modelleringsevnen til ikke-lineære relationer ved at arbejde i højere dimensioner uden eksplicit at beregne de tilhørende features.

Relaterede begreber:

Hver PSD-kerne definerer et reproducerende Hilbert-rum (RKHS), hvor k fungerer som indre produkt. Beregning af k over et datasæt (kernel-matrixen K med K_ij = k(x_i, x_j)) er centralt for træning og inferens. Parametre som gamma, d og coef0 styrer fleksibiliteten og kompleksiteten af modellen. Valg af kernel og parametre påvirker ydeevne og skalerbarhed på store datasæt.