Kalmansuodattimet

Kalmansuodattimet (Kalman-suodattimet) ovat tilasysteemien estimaatteja, jotka pyrkivät arvaamaan piilossa olevan tilan parhaalla mahdollisella tavalla käytettävissä olevan, kohinaa sisältävän mittausdatan perusteella. Ne ovat erityisen hyödyllisiä dinamisissa järjestelmissä, joissa tila muuttuu ajan kuluessa ja mittaukset ovat epätarkkoja tai osittain puutteellisia.

Perusmalli muodostetaan tilakirjoituksella: x_k = F x_{k-1} + B u_{k-1} + w_{k-1}, z_k = H x_k + v_k, missä x_k on tila, z_k mittaus, u_k ohjaus, F, B ja H siirto- sekä mittausmatriisit, ja w_k sekä v_k ovat gaussijakautuneita prosessi- ja mittauskohinoita, joiden kovarianssit ovat Q ja R.

Algoritmi etenee kahdessa vaiheessa. Ennusteessa arvoidaan seuraava tila ja sen epävarmuus: x̂_{k|k-1} = F x̂_{k-1|k-1} + B u_{k-1}, P_{k|k-1} = F P_{k-1|k-1} F^T + Q. Päivityksessä käytetään mittaus z_k: K_k = P_{k|k-1} H^T (H P_{k|k-1} H^T + R)^{-1}, x̂_{k|k} = x̂_{k|k-1} + K_k (z_k - H x̂_{k|k-1}), P_{k|k} = (I - K_k H) P_{k|k-1}. Näin tila päivitetään jokaisella aikasovelluksella.

Kalmansuodattimia on useita versioita. Ei-lineaarisille malleille on EKF (ekstrapoloiva Kalman-suodatin) ja UKF (unscented Kalman filter), sekä suurille järjestelmille EnKF (ensemble Kalman filter). Kalman-suodattimet voidaan myös toteuttaa jatkuvassa ajassa Kalman-Bucy -mallina.

Sovelluskohteita ovat navigointi ja robotiikka (GPS/IMU, kohinanpoisto), ilmailu ja avaruustekniikka, signaalinkäsittely sekä taloustiede. Läpäisevä vaatimus on, että malli ja kohinaversiot ovat kohtuullisesti määritelty, sillä epätarkat Q/R-arvot tai väärä malli voivat heikentää estimaattia.