Isomorfismeja

Isomorfismeja ovat rakenteellisia kuvauksia kahden matemaattisen rakenteen välillä, jotka osoittavat, että kyseiset rakenteet ovat keskenään yhtenevät. Ne todistavat, että kaksi kohdetta ovat samaa rakennetta eri esityksellään. Isomorfismeja käytetään määrittelemään, milloin kaksi kohdetta ovat todellisuudessa sama ilmiö, vaikka ne voivat ilmetä eri tavoin.

Isomorfismi on bijektio f: A → B, joka säilyttää rakenteen olennaiset operaatiot tai suhteet. Esimerkiksi ryhmien isomorfismeilla säilyy kertolasku niin, että f(xy) = f(x) f(y) kaikille x, y ∈ A; vektoriavaruuksien isomorfismeilla säilyvät yhdistetyt operatiiviset ominaisuudet: f(a x + b y) = a f(x) + b f(y) kaikille skaalauksille ja vektoreille; renkaiden isomorfismeilla säilyvät sekä yhdisteet että käänteistehtävät.

Isomorfismin käänteinen on aina isomorfismi, joten jokainen isomorfismi on invertible. Kompositio kahdesta isomorfismista on isomorfismi. Näin isomorfismit muodostavat keskeisen luokittelun välineen: kohteet voivat olla eri esityksissään, mutta jos ne ovat isomorfisia, ne ovat rakenteellisesti yhtä suuria.

Sovelluksissa isomorfismien avulla määritellään muun muassa ryhmä-, rengas- ja vektoriavaruusrakenteiden sekä graafien luokkia. Tärkeiksi invariansseiksi muodostuvat esimerkiksi koko, ulottuvuus tai grafioppien perustalliset ominaisuudet. Automaorfismit ovat isomorfismeja kohteelleen, ja niitä tutkitaan usein simmetrioiden löytämiseksi rakenteesta.