isomorfismista

Isomorfismi on matematiikassa rakennepreservoiva bijektio kahden samanlaisen rakenteen välillä. Tarkemmin sanottuna, jos A ja B ovat samaa rakennetyyppiä kuvaavia olioita (esimerkiksi ryhmiä, renkaat, moduuleja, vektoritiloja tai graafeja), niin f: A → B on isomorfismi, jos f on bijektio ja jokaiselle sopivalle operaatioille pätee f(op_A(a1, ..., ak)) = op_B(f(a1), ..., f(ak)). Näin ollen isomorfismi sanoo, että A ja B ovat rakenteeltaan samaa laatua, vaikka ne voivat eroata esitykseltään.

Isomorfismit ovat rakennetyyppikohtaisia: ryhmissä ne säilyttävät ryhmän välineet (a * b) → f(a) * f(b); vektoritiloissa ne ovat bijektiivisia lineaarisia kuvauksia; graafeissa ne säilyttävät naapuruutta siten, että u on naapurissa v G:ssä jos ja vain jos f(u) on naapurissa f(v) H:ssa. Yleisesti isomorfismi on ensin ja tärkein tapa määrittää, Milloin kaksi oliota ovat samaa rakennetta.

Käytännössä isomorfismit auttavat luokittelussa: kaks oliota ovat isomorfisia, jos ne ovat käytännössä samaa rakennetta erilaisten esitysten sijasta. Automorfismi on isomorfismi, jossa lähde- ja kohderakenne ovat sama olio, eli kuvauksen suunta on itse olion sisäinen symmetria.

Isomorfismin käsite on keskeinen monilla matematiikan osa-alueilla, sillä se määrittää, millä tavoin rakenteet voidaan katsoa identtisiksi rakennettaan kuvaamalla tavalla.