Inversjonsfunksjon

Inversjonsfunksjon er en funksjon som reverserer effekten av en annen funksjon. Gitt f: X → Y, er inversjonsfunksjonen f^{-1}: Y → X en funksjon som gjenoppretter den opprinnelige inputen når man kjenner outputen. En inversjonsfunksjon eksisterer bare hvis f er bijektiv, det vil si en-til-en og på.

Eksistens og definisjon: Hvis det finnes en g: Y → X slik at g(f(x)) = x for alle x i X og f(g(y)) = y for alle y i Y, er g lik f^{-1}. Når f er bijektiv, er inversen unik og oppfyller f(f^{-1}(y)) = y og f^{-1}(f(x)) = x.

Eksempler: For y = a x + b med a ≠ 0 er inversjonen f^{-1}(y) = (y - b)/a. Funksjonen y = x^3 er bijektiv på hele R; inversen er f^{-1}(y) = ∛y. Ikke-bijektiv er y = x^2 på hele R; hvis vi begrenser domenet til x ≥ 0 får vi inversen f^{-1}(y) = √y. For logaritme og eksponential: f(x) = log_a(x) har inverse f^{-1}(y) = a^y og f^{-1}(x) = log_a(x) for a > 0, a ≠ 1.

Egenskaper: Grafisk er inversjonsfunksjonen f^{-1} et speilbilde av f i linjen y = x. Eksistensen av inversen avhenger av bijektivitet; hvis f ikke er bijektiv finnes vanligvis ingen full invers funksjon (det kan finnes venstre eller høyre invers).

Bruksområder: Inversjonsfunksjoner brukes til å løse ligninger, endre variabler i kalkulus, og i ulike områder av algebra og analyse.