Integrálás

Integrálás a matematikában az a művelet, amely a függvények felhalmozódását, összegzését írja le. Az antideriválás, vagy primitív függvény keresése során olyan F-et találunk, amelyre F′(x) = f(x). Az indefinit (határozatlan) integrál jelölése ∫ f(x) dx = F(x) + C, ahol C a konstant. A határozott integrál ∫_a^b f(x) dx a görbe alatti terület vagy általános felhalmozódás értékét adja meg; a fundamentális tétel szerint, ha F az f primitívje, akkor ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

A definícióhoz szükséges integrálhatóság különböző megközelítéseket foglal magában, példáulRiemann- vagy Lebesgue-integrálhatóságot. A Riemann-integrál megfelel a sík görbéjének hagyományos területfogalmának, míg a Lebesgue-integrál kiterjeszti az integrálhatóságot több függvényre és jobb viselkedést biztosít bizonyos problémákban.

Módszerek és technikák közé tartozik a substitution (u-átalakítás), az integrálás részleges (integration by parts), a törtek felbontása (partial fractions), valamint különféle trigonometrikus és hiperbolikus átalakítások. Bizonyos függvények esetén nincs elemi primitív, ilyenkor speciális függvények vagy numerikus megközelítések szükségesek.

Numerikus integrálás során gyakran alkalmazzák a trapéz-, a Simpson- és a Gauss-kvadraturát, illetve modern változatokban Monte Carlo-számításokat is használnak összetettebb vagy magas dimenziós problémákhoz.

Alkalmazások széles köre van: területek és görbék alatti mérőfelületek, hosszok, tömeg- és energia-felhalmozódás számítása, valószínűségi várható értékek és varianciák meghatározása, valamint különböző fizikai, mérnöki és gazdasági modellek értékelése.

---