Integrálhatósága

Integrálhatósága (integrability) egy függvény azon tulajdonsága, hogy meghatározható legyen a hozzá tartozó integrál egy adott halmazon vagy tartományon. Két alapvető értelemben beszélhetünk róla: Riemann‑integrálhatóság és Lebesgue‑integrálhatóság.

Riemann‑integrálhatóság: Ha f korlátos egy zárt intervallumon, például [a, b], és a függvény diszcontinuitásainak halmaza nullmértékű, akkor f Riemann‑integrálható, és az I = ∫_a^b f(x) dx létezik. Ezzel szemben a Dirichlet‑függvény, amely minden ponton megszakított, nem Riemann‑integrálható, de Lebesgue‑integrálható lehet (például az integralja 0 lehet irracionális pontokra vonatkozó értékek szerint).

Lebesgue‑integrálhatóság: Egy mérhető függvény f Lebesgue‑integrálható, ha ∫ |f| dμ < ∞, azaz f ∈ L^1(μ). Ha f ≥ 0, akkor az ∫ f dμ értéke mindig a [0, ∞] tartományba esik; általában a pozitív és negatív rész külön-külön integrálható, és mindkettő véges kell legyen a megszabott integrálás érdekében. A Lebesgue‑integrál lehetővé teszi több függvény integrálását, amelyeket a Riemann‑értelmezés nem kezel.

Példák és összefüggések: nemesi függvények bizonyos esetekben Riemann‑integrálhatók, de Lebesgue‑integrálhatóak; például a Q ∩ [0,1] jelölőfüggvényének integrálhatósi értéke 0 Lebesgue‑szinten. Az integrálhatóság fontos szerepet játszik a valószínűség‑ és funkcionálanalízisben, valamint az L^p terekhez való tartozás meghatározásában.

Kapcsolódó koncepciók közé tartozik az L^1 tér, a mérhető függvények integrálhatósága és az impurei (improper) integrálás fogalma, amely végtelen vagy nemlemezet tartományokra is értelmezhető.