Integrációval

Integrációval olyan matematikai műveletet értünk, amely egy függvény összegzését vagy felhalmozását írja le. Az integráció a differenciálás inverz művelete, és két fő formája létezik: az antiderivált (azaz primitív függvény) és a határozott integrál, amely egy intervallum alatti összegzett mennyiséget ad meg. A jelölés általánosan ∫ f(x) dx, határozott esetben ∫_a^b f(x) dx.

Historikusan Newton és Leibniz vezették be az integráció gondolatát a 17. században, és a fundamentális tétel összekapcsolja a deriválást és az integrálást: ha F' = f, akkor ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

A különböző integrálási fogalmak közé tartozik a Riemann-integrál, a Lebesgue-integrál és a helytelen (improper) integrál. A Lebesgue-integrál általánosabb keretet ad, és jobb konvergencia-tulajdonságokat biztosít. A gyakorlati számításokban pedig numerikus módszereket használnak, például a trapéz- és a Simpson-szabályt.

Alkalmazások: terület meghatározása görbe alatt, fizika (munka és energia számítása), gazdaságtan (várható értékek és összegzések), illetve valószínűség-számítások.

Jellemző tulajdonságok közé tartozik a linearitás, az additivitás és a konvergencia viselkedésének vizsgálata különböző függvények esetén. Például a ∫_0^1 x^2 dx = 1/3.